Question

（2011•金东区模拟）在平面直角坐标系xOy中，
探究1：在x轴上有一点A（2，0），如图1
（1）如果线段OA绕原点O逆时针旋转90°，则线段OA所经过的扇形区域面积为

3π

．
（2）如果在x轴上还有一点B（4，0），连接AB，求线段AB绕原点O逆时针旋转90°所经过的区域面积．
探究2：（1）若在x轴上有一点M（2，0），N（2，2），连接MN，求线段MN绕原点O逆时针旋转90°所经过区域的面积．小明解决这个问题时探究如下：①根据题目要求，画出所要求面积的图形2（实线部分）；②发现两条曲线正好分别是点M、N绕原点逆时针转90°的两段弧线；③利用转化、割补思想把不规范图形转化为规范图形组合（注意虚线部分）．
现请你写出解答过程．
（2）在坐标系xOy上有点P（2，2）、Q（2，4），若线段PQ绕原点O逆时针旋转90°，求线段PQ所经过的区域面积．
探究3：在坐标系xOy上有点R（2，0）、S（1，

3

），若线段RS绕原点O逆时针旋转90°，求线段RS所经过区域的面积（重复经过的区域面积不重复计算）．

Answer 1

分析：探究1、（1）利用扇形的面积公式即可求解；
（2）利用扇形的面积公式求得半径是OB的扇形的面积，减去半径是OA的扇形的面积即可；
探究2、（1）利用扇形的面积公式，求出半径是ON和OM为半径的扇形的面积，求差即可；
（2）与（1）的解法相同；
探究3、首先求得OS，OR，SR的长，近而求得SR边上的高，然后利用（2）的方法求解．

解答：解：探究1．（1）OA=2，则线段OA所经过的扇形区域面积为：

90π×22

360

=π；
（2）OB经过的扇形的面积是：

90π×42

360

=4π，
则线段AB绕原点O逆时针旋转90°所经过的区域面积是4π-π=3π；
探究2．（1）OM=2，则OM所经过的扇形区域面积为：

90π×22

360

=π，
ON=

22+22

=2

2

，则ON所经过的扇形区域面积为：

90π×(2 2 )2

360

=2π，
则线段MN绕原点O逆时针旋转90°所经过区域的面积是：2π-π=π；
（2）OP=

22+22

=2

2

，则ON所经过的扇形区域面积为：

90π×(2 2 )2

360

=2π，
OQ=

22+42

=2

5

，则OQ所经过的扇形区域面积是：

90π×(2 5 )2

360

=5π，
则线段PQ所经过的区域面积是：5π-2π=3π；
探究3．OR=2，OS=

12+( 3 )2

=2，SR=

(2-1)2+( 3 )2

=2，
则OS=OR=SR，则△OSR是等边三角形，
则SR边上的高是：2×

3

2

=

3

，
则线段RS所经过区域的面积是：

90π×22

360

-

90π×( 3 )2

360

=π-

3

4

π=

π

4

．

点评：本题考查了扇形的面积公式以及图形的旋转，正确理解题意是关键．