Question

（2012•禅城区模拟）已知函数f(x)=1+

2

x

，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，即f(a)=1+

2

a

．
（1）求f（10）；
（2）计算f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值；
（3）如果f（a）-f（a+1）=1，试求a的值．

Answer 1

分析：（1）将x=10代入f（x）解析式中计算，即可得到f（10）的值；
（2）将f（x）解析式通分并利用同分母分式的加法法则化简，列举出f（1），f（2），…，f（100），约分后计算即可得到结果；
（3）表示出f（a）与f（a+1），代入已知的等式中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）根据题意得：f（10）=1+

2

10

=1

1

5

；

（2）∵f（x）=1+

2

x

=

x+2

x

，
∴f（1）•f（2）•f（3）…f（100）
=

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

100

98

×

101

99

×

102

100

=

101×102

2

=5151；

（3）∵f（a）=1+

2

a

，f（a+1）=1+

2

a+1

，且f（a）-f（a+1）=1，
∴1+

2

a

-（1+

2

a+1

）=1，即

2

a

-

2

a+1

=1，
去分母得：2（a+1）-2a=a（a+1），即a²+a-2=0，
分解因式得：（a-1）（a+2）=0，
解得：a=1或a=-2，
经检验都符合题意，
则a的值为1或-2．

点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．