题目内容
【题目】如图1,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的一动点(不与端点A、D重合),连结PC,过点P作PE⊥PC交AB于点E,在P点运动过程中,图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律?
特例求解
当E为AB的中点,且AP>AE时,求证:PE=PC.
深入探究
当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求整个运动过程中BE的取值范围.
【答案】(1)证明参见解析;(2)≤BE<2.
【解析】
试题分析:(1)特例求解:当E为AB的中点,设AP=x,证明△APE∽△DCP,根据相似三角形的性质得到比例式,解一元二次方程求出x的值,再证明△APE≌△DCP即可;(2)深入探究:设AP=x,AE=y,证明△APE∽△DCP,根据相似三角形的性质得到比例式,计算出x值,建立y与x的二次函数关系,讨论最值问题即可.
试题解析:(1)特例求解,∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90°,∵∠D=90°,∴∠DCP+∠DPC=90°,∴∠APE=∠DCP,又∠A=∠D=90°,∴△APE∽△DCP,∴,设AP=x,则DP=3﹣x,又当E为AB的中点,即AE=BE=1,∴x(3﹣x)=1×2,整理得x2﹣3x+2=0,解得,x1=2,x2=1,∵AP>AE,∴AP=CD=2,AE=PD=1,∴△APE≌△DCP,∴PE=PC;(2)深入探究,设AP=x,AE=y,∵△APE∽△DCP,∴
,即x(3﹣x)=2y,∴y=
x(3﹣x)=﹣
x2+
x=﹣
(x﹣
)2+
,∴当x=
时,y的最大值为
,∵AE=y取最大值时,BE取最小值为2﹣
=
,∴BE的取值范围为
≤BE<2.

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