Question

【题目】如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？

特例求解

当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．

深入探究

当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明参见解析；（2）≤BE＜2．

【解析】

试题分析：(1)特例求解：当E为AB的中点，设AP=x，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程求出x的值，再证明△APE≌△DCP即可；(2)深入探究：设AP=x，AE=y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，计算出x值，建立y与x的二次函数关系，讨论最值问题即可．

试题解析：(1)特例求解，∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，∵∠D=90°，∴∠DCP+∠DPC=90°，∴∠APE=∠DCP，又∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DCP，∴，设AP=x，则DP=3﹣x，又当E为AB的中点，即AE=BE=1，∴x（3﹣x）=1×2，整理得x2﹣3x+2=0，解得，x1=2，x2=1，∵AP＞AE，∴AP=CD=2，AE=PD=1，∴△APE≌△DCP，∴PE=PC；(2)深入探究,设AP=x，AE=y，∵△APE∽△DCP，∴，即x（3﹣x）=2y，∴y=x（3﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，y的最大值为，∵AE=y取最大值时，BE取最小值为2﹣=，∴BE的取值范围为≤BE＜2．