Question

如图，在平面角直角坐标系中，A（-2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）．

（1）求证：AB=CD且AB⊥CD；
（2）以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE，过点E作EF⊥x轴于点F，求点F的坐标；
（3）若点P为y轴正半轴上一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APQ，∠APQ=90°，QR⊥x轴于点R，当点P运动时，OP-QR的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：延长CD交AB于点E．
∵A（-2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2），
∴OA=OD=2，OB=OC=3．
∵∠AOB=90°，∠DOC=90°，
∴∠AOB=∠DOC．
在△AOB和△DOC中．
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO=∠DCO．∠BAO=∠CDO．AB=CD．
∵∠BDE=∠CDO，
∴∠BAO=∠BDE．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BDE+∠ABO=90°，
∴∠BED=90°，
∴AB⊥CD；

（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，∠EAB=90°，
∴∠FAE+∠BAO=90°．
∵EF⊥x轴，
∴∠EFA=90°，
∴∠AEF+∠FAE=90°，
∴∠AEF=∠OAB．
∵∠AOB=90°，
∴∠EFA=∠AOB．
在△AEF和△BAO中，
，
∴△AEF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=3，
∴OF=2+3=5，
∴F（0，-5）．
答：F的坐标为（0，-5）；
（3）OP-QR的值不变．
理由：作QF⊥OP于F，
∴∠PFQ=∠QFO=90°，
∴∠FPQ+∠FQP=90°．
∵三角形APQ是等腰直角三角形，
∴PA=PQ，∠APQ=90°，
∴∠APO+∠OPQ=90°．
∴∠APO=∠PQQF．
∵∠AOP=∠POR=90°，
∴∠AOP=∠PFQ．
在△AOP和△PFQ中，
，
∴△AOP≌△PFQ（AAS），
∴AO=PF．
∵QR⊥x轴，
∴∠QRA=90°．
∴∠QRA=∠POR=∠QFO=90°，
∴四边形FORQ是矩形，
∴QR=FO．
∴OP-QR=OP-OF=PF，
∴OP-QR=OA．

分析：（1）延长CD交AB于点E，根据A（-2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）可以求出OA=OD=2，OB=OC=3，证明△AOB≌△DOC就可以求出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质可以得出△AEF≌△BAO，就有AF=OB，从而求出F的坐标；
（3）作QF⊥OP于F，根据等腰直角三角形的性质可以得出△AOP≌△PFQ，就有PF=OA，由矩形的性质可以得出QR=OF，就可以得出OP-QR=PF=OA不发生变化．
点评：本题考查了点的坐标的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，矩形的判定运用的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．