Question

图1是边长分别为和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）．
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）．
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）BE=AD，寻找证明△ADC≌△BEC（SAS）的条件．
（2）设PR、RQ分别交AC于G、H，QC=x，由题意易得∠RGH=90°，RH=3-QH=3-QC=3-x，分析可知，△GRH是30°的直角三角形，解直角三角形可求GR，GH，可表示△GRH的面积，用△PRQ的面积-△GRH的面积．
解答：解：（1）BE=AD．
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°
∵∠BCE=30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACD=30°
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴BE=AD．

（2）设PR、RQ分别交AC于G、H，QC=x，
∵由（1）可知∠ACF=30°，∠PQR=60°，
∴∠CHQ=30°，
∴QH=QC，∠RHG=∠CHQ=30°，
∴∠RGH=90°，RH=3-QH=3-QC=3-x，
∴RG=（3-x），GH=（3-x），
所以S_Rt△GHR=RG•GH=（3-x）²，
而∵△C′D′E′的边长为3，得出S_△PQR=，
∴重叠部分面积y=-（3-x）²，
即：y=-+x+（0≤x≤3）．
点评：此题综合性较强，考查了全等三角形的判定、等边三角形的性质．