Question

如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜120°），旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF（如图2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直径为8．
（1）在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②

EF

的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是

 

（填序号）；
（2）当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．

Answer 1

分析：（1）在整个旋转过程中，∠A为弦切角或圆周角，且大小不变，所以其所对的弦、弧不变；
（2）当BC与⊙O相切时，即AC为直径，点E与C重合，所以α=90°；△AEF为直角三角形，运用三角函数求边长然后计算面积．

解答：解：（1）∵在整个旋转过程中，∠A为弦切角或圆周角，且大小不变，所以其所对的弦、弧不变；
∴①②正确；
∵根据勾股定理得：O到EF的距离是

OF2-( 1 2 EF)2

，
∵OF不变，EF不变，
∴④正确；
∵在整个旋转过程中，∠AEF和∠AFE都在改变，大小不能确定，
∴③错误；
故答案为：①②④． （多填或填错得0分，少填酌情给分）（3分）

（2）α=90°．                     （5分）
依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，
且点C与点E重合，
因此∠AFE=90°．                  （6分）
∵AC=8，∠BAC=60°，
∴AF=

1

2

AC=4，EF=4

3

，（8分）
∴S_△AEF=

1

2

×4×4

3

=8

3

．    （9分）

点评：此题综合考查了旋转的性质及切线和圆的有关性质，难度较大．