Question

如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM．
（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数．
（2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM•OB=DF•MC．

Answer 1

（1）解：点P与点O重合时，（如上图1）
∵CE是直径，∴∠CDE=90°．
∵∠CDE+∠FDM=180°，∴∠FDM=90°．

（2）证明：当点P在OA上运动时（如上图2）
∵OP⊥CE，∴，CP=EP．
∴CM=EM．∴∠CMP=∠EMP．
∵∠DMO=∠EMP，∴∠CMP=∠DMO．∵∠CMP+∠DMC=∠DMO+∠DMC，
∴∠DMF=∠CMO．
∵∠D所对的弧是，∠COM所对的弧是，
∴∠D=∠COM．
∴△DFM∽△OCM．∴=
∴FM•OC=DF•MC．
∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．
当点P在OB上运动时，（如右图）
证法一：连接AC，AE．
∵OP⊥CE，∴，CP=EP．∴CM=EM，∴∠CMO=∠EMO．
∵∠DMF=∠EMO，∴∠DMF=∠CMO．
∵∠CDE所对的弧是，∠CAE所对的弧是．
∴∠CDE+∠CAE=180°．
∴∠CDM+∠FDM=180°，∴∠FDM=∠CAE．
∵∠CAE所对的弧是，∠COM所对的弧是，
∴∠CAE=∠COM．
∴∠FDM=∠COM．
∴△DFM∽△OCM．∴=．
∴FM•OC=DF•MC．
∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．
证法二：∵OP⊥CE，
∴，，CP=EP．
∴CM=EM，∴∠CMO=∠EMO．
∵∠DMF=∠EMO，∴∠DMF=∠CMO．
∵∠CDE所对的弧是，
∴∠CDE=度数的一半=的度数=180°-的度数．
∴∠FDM=180°-∠CDE=180°-（180°-的度数）=的度数．
∵∠COM=的度数．
∴∠FDM=∠COM．
∴△DFM∽△OCM．∴=．
∴FM•OC=DF•MC．
∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．
分析：（1）点P与点O重合时，CE是直径，由圆周角定理知：∠CDE=90°．即DE⊥CF，由此可得∠FDM=90°．
（2）图11和图12的解法大致相同，以图11为例，先将所求的乘积式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即证△OMC∽△DMF；由于AB是直径，由垂径定理知A是弧CE的中点，由圆周角定理可得∠D=∠COM，而MP垂直平分CE，即可证得∠CMP=∠EMP，所以它们的补角也相等，即∠OMC=∠DMF，由此可证得△OMC∽△DMF，即可得到所求的结论．（要注意的是OC=OB，这步需要用到等量代换）
图12的证法同上．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，其中用到的知识点还有：圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系等知识，综合性较强．