题目内容
(2011•黔西南州)如图,将边长为4cm的正方形ABCD绕顶点C顺时针方向旋转30°,得到正方形EFCG,且EF交AD于点H.
(1)求证:DH=HF;
(2)求四边形CDHF的面积.
(1)求证:DH=HF;
(2)求四边形CDHF的面积.
分析:(1)由将边长为4cm的正方形ABCD绕顶点C顺时针方向旋转30°,利用HL易证得Rt△CFH≌Rt△CDH,即可得DH=HF;
(2)由Rt△CFH≌Rt△CDH,可得∠FCH=∠DCH,易求得∠FCH=30°,然后求得FH的长,继而求得四边形CDHF的面积.
(2)由Rt△CFH≌Rt△CDH,可得∠FCH=∠DCH,易求得∠FCH=30°,然后求得FH的长,继而求得四边形CDHF的面积.
解答:(1)证明:连接CH,
根据题意得:∠F=∠D=90°,CF=CD,
∵在Rt△CFH和Rt△CDH中,
,
∴Rt△CFH≌Rt△CDH(HL),
∴DH=HF;
(2)解:∵Rt△CFH≌Rt△CDH,
∴∠FCH=∠DCH,
由旋转的性质得:∠BCF=30°,
∴∠FCD=90°-∠BCF=60°,
∴∠FCH=
∠FCD=30°,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴CF=4,
∴FH=CF•tan30°=4×
=
,
∴S△CDH=S△CFH=
×FH×CF=
×
×4=
,
∴S四边形CDHF=S△CDH+S△CFH=
.
根据题意得:∠F=∠D=90°,CF=CD,
∵在Rt△CFH和Rt△CDH中,
|
∴Rt△CFH≌Rt△CDH(HL),
∴DH=HF;
(2)解:∵Rt△CFH≌Rt△CDH,
∴∠FCH=∠DCH,
由旋转的性质得:∠BCF=30°,
∴∠FCD=90°-∠BCF=60°,
∴∠FCH=
1 |
2 |
∵正方形ABCD的边长为4,
∴CF=4,
∴FH=CF•tan30°=4×
| ||
3 |
4
| ||
3 |
∴S△CDH=S△CFH=
1 |
2 |
1 |
2 |
4
| ||
3 |
8
| ||
3 |
∴S四边形CDHF=S△CDH+S△CFH=
16
| ||
3 |
点评:此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角新的判定与性质以及特殊角的三角函数值.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
练习册系列答案
相关题目