Question

如图：在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在弧QN上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．
（1）求弦MN的长；
（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设阴影部分面积为y，扇形OMN的面积为S，试分析，当自变量x在何取值范围时，y＞S，y=S，y＜S？

Answer 1

分析：（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得出△OMN是等边三角形，即OM=ON=MN=2；
（2）根据三角形的面积公式，即可列出y，x的函数关系式；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O作OP′∥MN，以此线段为分界线进行分情况讨论．

解答：解：（1）∵OM=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∴MN=OM=ON=2；
（2）由三角形面积公式可得S_△PMN=

1

2

×2x=x，
S_弓形MN=S_扇形OMN-S_△OMN=

60π×22

360

-

3

4

×2²=

2π

3

-

3

，
则阴影部分面积y与x的函数关系式为y=S_△PMN+S_弓形MN=x+

2π

3

-

3

（0≤x≤2+

3

）；
（3）令y=S，即x+

2π

3

-

3

=

60π×22

360

=

2π

3

；
∴当x=

3

时，y=S；
当0≤x＜

3

时，y＜S；
当

3

＜x≤2+

3

，y＞S．
注：过O作OP′∥MN交⊙O上一点P′，依等积关系得：x=

3

，即可下结论．

点评：此题属于圆的综合题，解题思路为：若圆中的一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算；讨论面积大小的时候，首先要找到面积相等的情况，再进一步分情况讨论．