题目内容

某工厂的某件产品按质量分成10个档次，生产第一档次（即最低档档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元．
（1）当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？
（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天生产量减少4件，若生产第x档的产品一天的利润为y元（其中x为整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数解析式；
（3）若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的产是第几档的产品？
（4）为了获得最大的利润，厂长决定每天都生产第10档次的产品，厂长的这一决定是否正确？你是怎样看待这个问题的？

分析：（1）由16-10=6可知增加的利润，由每提高一个档次，利润每件增加2元，即可求出此产品质量在第几档次；
（2）每件的利润为10+2（x-1），生产件数为76-4（x-1），则y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]；
（3）由题意可令y=1080，求出x的实际值即可；
（4）为了获得最大的利润，厂长决定每天都生产第10档次的产品，厂长的这一决定不正确，由（3）求出函数的最值和此时x的值即可知道10是否合理．

解答：解（1）当每件利润为16元时，利润增加16-10=6元，
因为每提高一个档次，利润每件增加2元，所以提高了6÷2=3档，
所以此产品质量在第4档次；
（2）据题意可得y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]，
整理，得y=-8x²+128x+640；
（3）当利润是1080元时，即-8x²+128x+640=1080
解得x₁=5，x₂=11，
因为x=11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x=5，
当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元；
（4）为了获得最大的利润，厂长决定每天都生产第10档次的产品，厂长的这一决定不正确，
理由如下：
∵y=-8（x-8）²+1152，a=-8＜0，
∴当x=8时，y_最大=1152（元），
∴生产第八档次是，一天的总利润最大，最大利润是1152元，而不是10档次的产品．

点评：此题考查的是二次函数的实际应用，难度一般，注意，在市场营销问题中，一件的利润和件数，一个量增加的同时，另一个量会减少，要根据题意，正确使用，先确定二次函数，再解一元二次方程，由一般到特殊．