Question

如下图(a)，已知直线EA与两坐标轴轴分别交于点E、A(0，2)，过直线EA上的两个点F、G分别作轴的垂线，垂足分别为M(m，0)、N(n，0)，其中m<0，n>0． (a) (b) (1) 如果m=－4，n=1，试计算线段AN和AM的长，并判断△AMN的形状 (2) 如果mn=－4，(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 (3) 如图(b)，题目中的条件不变，如果mn=－4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线方程； (4) 在图(b)中，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的Q点坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：△AMN是直角三角形 　　依题意得OA=2，OM=4，ON=1，∴MN=OM+ON=4+1=5 　　在Rt△AOM中，AM=== 　　在Rt△AON中，AN=== 　　∴MN2=AM2 +AN2 　　∴△AMN是直角三角形
(2)	答：(1)中的结论还成立 　　依题意得OA=2，OM=－m，ON=n 　　∴MN=OM+ON=n－m 　　∴MN2=(n－m)2=n2－2 mn+m2 　　∵mn=－4 　　∴MN2=n2－2×(－4)+m2=n2+m2+8 　　又∵在Rt△AOM中，AM === 　　在Rt△AON中，AN === 　　∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8 　　∴MN2 =AM2+AN2 　　∴△AMN是直角三角形
(3)	∵mn=－4，n=4 　　∴ 　　设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x–4)． 　　∵抛物线经过点A(0，2) 　　∴–4a=2 　　解得a=– 　　∴所求抛物线的解析式为y=–(x+1)(x–4) 　　即y=–x2+x+2
(4)	抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件 　　∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1 　　∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM 　　∵抛物线的对称轴为x= 　　∴该点坐标为Q1(，0) 　　∴NQ1=4–= 　　过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2 　　∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似 　　∴　　即Q1Q2 = 　　∵点Q2位于第四象限 　　∴Q2(，) 　　因此，符合条件的点有两个，分别是Q1(，0)，Q2(，)