题目内容
【题目】如图在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系.
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
(3)当点M、N分别在AB、AC上运动时,四边形AMON的面积是否发生变化?说明理由.
【答案】(1) OA=OB=OC;(2)等腰三角形;(3)不变.
【解析】
(1)由于△ABC是直角三角形,点O是BC的中点,根据直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故有OA=OB=OC=BC;
(2)由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线,根据等腰直角三角形的性质知,∠CAO=∠B=45°,OA=OB,又有AN=MB,所以由SAS证得△AON≌△BOM可得:ON=OM ①∠NOA=∠MOB,于是有,∠NOM=∠AOB=90°,所以△OMN是等腰直角三角形.
(3)由全等三角形的面积相等和图中图形间的面积关系得到.
(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O为BC的中点,
∴OA=BC=OB=OC,
即OA=OB=OC;
(2)△OMN是等腰直角三角形.理由如下:
连接AO
∵AC=AB,OC=OB
∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°,
在△AON与△BOM中,
,
∴△AON≌△BOM(SAS)
∴ON=OM,∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°,
∴△OMN是等腰直角三角形;
(3)当点M、N分别在AB、AC上运动时,四边形AMON的面积不发生变化.理由如下:
M、N运动时始终有△AON≌△BOM,
故S四边形AMON=SAMO+SMBO=SABO=SABC.

【题目】新房装修后,某居民购买家用品的清单如下表,因污水导致部分信息无法识别,根据下表解决问题:
家居用品名称 | 单价(元) | 数量(个) | 金额(元) |
垃圾桶 | 15 | ||
鞋架 | 40 | ||
字画 | a | 2 | 90 |
合计 | 5 | 185 |
(1)居民购买垃圾桶,鞋架各几个?
(2)若居民再次购买字画和垃圾桶两种家居用品共花费150元,则有哪几种不同的购买方案?