题目内容

【题目】如图在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系.

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.

(3)当点M、N分别在AB、AC上运动时,四边形AMON的面积是否发生变化?说明理由.

【答案】(1) OA=OB=OC;(2)等腰三角形;(3)不变.

【解析】

(1)由于ABC是直角三角形,点OBC的中点,根据直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故有OA=OB=OC=BC;

(2)由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线,根据等腰直角三角形的性质知,∠CAO=B=45°,OA=OB,又有AN=MB,所以由SAS证得AON≌△BOM可得:ON=OM ①∠NOA=MOB,于是有,∠NOM=AOB=90°,所以OMN是等腰直角三角形.

(3)由全等三角形的面积相等和图中图形间的面积关系得到.

(1)∵在RtABC中,∠BAC=90°,OBC的中点,

OA=BC=OB=OC,

OA=OB=OC;

(2)OMN是等腰直角三角形.理由如下:

连接AO

AC=AB,OC=OB

OA=OB,NAO=B=45°,

AONBOM中,

∴△AON≌△BOM(SAS)

ON=OM,NOA=MOB

∴∠NOA+AOM=MOB+AOM

∴∠NOM=AOB=90°,

∴△OMN是等腰直角三角形;

(3)当点M、N分别在AB、AC上运动时,四边形AMON的面积不发生变化.理由如下:

M、N运动时始终有AON≌△BOM,

S四边形AMON=SAMO+SMBO=SABO=SABC

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