题目内容
(2012•天津)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
分析:(Ⅰ)根据题意得,∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案;
(Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,易证得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;
(Ⅲ)首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′A的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与m=
t2-
t+6,即可求得t的值.
(Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,易证得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;
(Ⅲ)首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′A的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与m=
1 |
6 |
11 |
6 |
解答:解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6,
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t.
∵OP2=OB2+BP2,
即(2t)2=62+t2,
解得:t1=2
,t2=-2
(舍去).
∴点P的坐标为(2
,6).
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC,
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,
∴∠OPB+∠QPC=90°,
∵∠BOP+∠OPB=90°,
∴∠BOP=∠CPQ.
又∵∠OBP=∠C=90°,
∴△OBP∽△PCQ,
∴
=
,
由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m.
∴
=
.
∴m=
t2-
t+6(0<t<11).
(Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E,
∴∠PEA=∠QAC′=90°,
∴∠PC′E+∠EPC′=90°,
∵∠PC′E+∠QC′A=90°,
∴∠EPC′=∠QC′A,
∴△PC′E∽△C′QA,
∴
=
,
∵PC′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m,
∴AC′=
=
,
∴
=
,
∴
=(
)2,
∴3(6-m)2=(3-m)(11-t)2,
∵m=
t2-
t+6,
∴3(-
t2+
t)2=(3-
t2+
t-6)(11-t)2,
∴
t2(11-t)2=(-
t2+
t-3)(11-t)2,
∴
t2=-
t2+
t-3,
∴3t2-22t+36=0,
解得:t1=
,t2=
,
点P的坐标为(
,6)或(
,6).
法二:∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′,
∴OC′=PC′=PC=11-t,
过点P作PE⊥OA于点E,
则PE=BO=6,OE=BP=t,
∴EC′=11-2t,
在Rt△PEC′中,PE2+EC′2=PC′2,
即(11-t)2=62+(11-2t)2,
解得:t1=
,t2=
.
点P的坐标为(
,6)或(
,6).
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t.
∵OP2=OB2+BP2,
即(2t)2=62+t2,
解得:t1=2
3 |
3 |
∴点P的坐标为(2
3 |
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC,
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,
∴∠OPB+∠QPC=90°,
∵∠BOP+∠OPB=90°,
∴∠BOP=∠CPQ.
又∵∠OBP=∠C=90°,
∴△OBP∽△PCQ,
∴
OB |
PC |
BP |
CQ |
由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m.
∴
6 |
11-t |
t |
6-m |
∴m=
1 |
6 |
11 |
6 |
(Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E,
∴∠PEA=∠QAC′=90°,
∴∠PC′E+∠EPC′=90°,
∵∠PC′E+∠QC′A=90°,
∴∠EPC′=∠QC′A,
∴△PC′E∽△C′QA,
∴
PE |
AC′ |
PC′ |
C′Q |
∵PC′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m,
∴AC′=
C′Q2-AQ2 |
36-12m |
∴
6 | ||
|
11-t |
6-m |
∴
36 |
12(3-m) |
11-t |
6-m |
∴3(6-m)2=(3-m)(11-t)2,
∵m=
1 |
6 |
11 |
6 |
∴3(-
1 |
6 |
11 |
6 |
1 |
6 |
11 |
6 |
∴
1 |
12 |
1 |
6 |
11 |
6 |
∴
1 |
12 |
1 |
6 |
11 |
6 |
∴3t2-22t+36=0,
解得:t1=
11-
| ||
3 |
11+
| ||
3 |
点P的坐标为(
11-
| ||
3 |
11+
| ||
3 |
法二:∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′,
∴OC′=PC′=PC=11-t,
过点P作PE⊥OA于点E,
则PE=BO=6,OE=BP=t,
∴EC′=11-2t,
在Rt△PEC′中,PE2+EC′2=PC′2,
即(11-t)2=62+(11-2t)2,
解得:t1=
11-
| ||
3 |
11+
| ||
3 |
点P的坐标为(
11-
| ||
3 |
11+
| ||
3 |
点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想与方程思想的应用.
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