Question

已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△ABC沿CE所在的直线折叠得△AEC，BF∥AC，交直线A′C于F．
（1）若∠ACB=90°，∠A=30°，求证：AC=CF+BF．
（2）若∠ACB为任意角，在图（2）图（3）的情况下分别写出AC、CF、BF之间关系，并证明图（3）结论．
（3）如图（4），若∠ACB=120°，BF=6，BC=4，则AC的长为

6+2

7

．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE，根据等边对等角可得∠ACE=∠A，再根据翻折的性质可得∠A′CE=∠ACE，然后求出∠BCF=30°，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CBF=90°，然后用BF表示出CF、BC，再表示出AC，即可得证；
（2）图（2），连接A′B，根据翻折的性质可得A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，根据中点定义可得AE=BE，从而得到BE=A′E，然后根据等边对等角可得∠EA′B=∠EBA′，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ABF，然后求出∠FA′B=∠FBA′，根据等角对等边可得A′F=BF，再根据A′C=CF+A′F整理即可得证；图（3）同理求出A′F=BF，再根据A′C=CF-A′F整理即可得证；
（3）连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CBF=60°，然后解直角三角形求出BG、FG，再求出CG，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据AC=CF+BF代入数据计算即可得解．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，点E为边AB的中点，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=30°，
由翻折的性质得，∠A′CE=∠ACE，
∴∠BCF=90°-30°×2=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴CF=2BF，BC=BF÷tan30°=BF÷

3

3

=

3

BF，
又∵AC=BC÷tan30°=

3

BF÷

3

3

=3BF，
∴AC=CF+BF；

（2）解：如图（2），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠ABF，
∵∠FA′B=∠EA′B-∠CA′E，
∠FBA′=∠EBA′-∠ABF，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF+A′F，
∴AC=CF+BF；

如图（3），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF-A′F，
∴AC=CF-BF；

（3）解：如图（4），连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，
∵BF∥AC，∠ACB=120°，
∴∠CBF=180°-120°=60°，
∴BG=BF•cos60°=6×

1

2

=3，FG=BF•sin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴CG=BC-BG=4-3=1，
在Rt△CGF中，CF=

FG2+CG2

=

(3 3 )2+12

=2

7

，
∴AC=BF+CF=6+2

7

．
故答案为：6+2

7

．

点评：本题考查了翻折变换，平行线的性质，等边对等角的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．