题目内容
（本小题满分12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点
和
轴上另一点
，顶点
的坐标为
；矩形
的顶点
与点重合，
分别在轴、
轴上，且
，
．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形
以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点
也以相同的速度从点出发向
匀速移动．设它们运动的时间为
秒（
），直线
与该抛物线的交点为
（如图2所示）．①当
时，判断点是否在直线
上，并说明理由；②设以
为顶点的多边形面积为
，试问是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因所求抛物线的顶点的坐标为（2，4），
故可设其关系式为
．
又抛物线经过
，于是得
，
解得
．
∴所求函数关系式为
，即
．
（2）①点不在直线上．
根据抛物线的对称性可知点的坐标为（4，0），
又的坐标为（2，4），设直线的关系式为
．
于是得
，解得
．
所以直线的关系式为
．
由已知条件易得，当时，
，∴
．
∵点的坐标不满足直线的关系式，
∴当时，点不在直线上．
②存在最大值．理由如下：
∵点在轴的非负半轴上，且在抛物线上，
∴
，
∴点
的坐标分别为
、
，
∴
（），
∴
，
∴
．
（i）当
，即
或
时，以点
为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为
，∴
．
（ii）当
时，以点为顶点的多边形是四边形，
∵
，
∴
，
其中（
），由，
，此时
．
综上所述，当
时，以点为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为
．
说明：（ii）中的关系式，当和时也适合．解析:
略
的坐标为（2，4），故可设其关系式为
．又抛物线经过
，于是得，解得
．∴所求函数关系式为
，即．（2）①点
不在直线上．根据抛物线的对称性可知
点的坐标为（4，0），又
的坐标为（2，4），设直线的关系式为．于是得
，解得．所以直线
的关系式为．由已知条件易得，当
时，，∴．∵
点的坐标不满足直线的关系式，∴当
时，点不在直线上．②
存在最大值．理由如下：∵点
在轴的非负半轴上，且在抛物线上，∴
，∴点
的坐标分别为、，∴
（），∴
，∴
．（i）当
，即或时，以点为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为，∴．（ii）当
时，以点为顶点的多边形是四边形，∵
，∴
，其中（
），由，，此时．综上所述，当
时，以点为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．说明：（ii）中的关系式，当
和时也适合．解析:略
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同侧，在直线
，连接
，与直线
