题目内容
如图所示，⊙O的半径OA=1，点M是线段OA延长线上的任意一点，⊙M与⊙O内切于点B，过点A作CD⊥OA交⊙M于C、D，连接CM、OC，OC交⊙O于E．（1）若设OM=x，S△OMC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，当x=4时，试判断⊙N与直线CM的位置关系；
（3）将⊙O绕着点E旋转180°得到⊙P，如果⊙P与⊙M内切，求x的值．
分析：（1）要求y关于x的函数解析式，根据三角形的面积公式，只需求得AC的长．根据两圆内切，圆心距等于两圆半径之差，可以求得CM=x+1，又AM=x-1，根据勾股定理求得AC的长，从而求得函数解析式，结合图形，即可求得x的取值范围；
（2）作NH⊥CM于H．根据题意，得到CM=5，AM=3，AC=4，MN=3-1=2．再根据解直角三角形的知识求得NH的长，从而判断直线和圆的位置关系；
（3）连接ME．根据题意，得MP=OM=x，OE=PE=1，则ME⊥OP．根据勾股定理，发现ME=AC=2
．再进一步根据勾股定理，得4x+1=x2，从而求解．
（2）作NH⊥CM于H．根据题意，得到CM=5，AM=3，AC=4，MN=3-1=2．再根据解直角三角形的知识求得NH的长，从而判断直线和圆的位置关系；
（3）连接ME．根据题意，得MP=OM=x，OE=PE=1，则ME⊥OP．根据勾股定理，发现ME=AC=2
| x |
解答：解：（1）∵⊙M与⊙O内切于点B，
∴CM=x+1．
又∵AM=x-1．
∴在直角三角形AMC中，根据勾股定理，得AC=
=2
，
则
x•2
=y，
即y=x
（x＞1）；
（2）当x=4时，则CM=5，AM=3，AC=4．
根据题意，得MN=3-1=2．
在直角三角形AMC中，sinM=
，
在直角三角形MNH中，则NH=2×
=
＞1，
则⊙N与直线CM的位置关系是相离；
（3）连接ME．
∵
，
∴△COA≌△OEM，
∴设MP=OM=OC=x，OE=PE=1，
则ME⊥OP．
∵OE=OA，
∴在Rt△OME中，ME=
，
在Rt△OAC中，AC=
，
∵OM=OC，OE=OA，
∴ME=AC=2
．
根据勾股定理，得4x+1=x2，
解，得x=2±
，
又x＞1，
∴x=2+
．
∴CM=x+1．
又∵AM=x-1．
∴在直角三角形AMC中，根据勾股定理，得AC=
| (x+1)2-(x-1)2 |
| x |
则
| 1 |
| 2 |
| x |
即y=x
| x |
（2）当x=4时，则CM=5，AM=3，AC=4．
根据题意，得MN=3-1=2．
在直角三角形AMC中，sinM=
| 4 |
| 5 |
在直角三角形MNH中，则NH=2×
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
则⊙N与直线CM的位置关系是相离；
（3）连接ME．
∵
|
∴△COA≌△OEM，
∴设MP=OM=OC=x，OE=PE=1，
则ME⊥OP．
∵OE=OA，
∴在Rt△OME中，ME=
| OM2-OE2 |
在Rt△OAC中，AC=
| OC2-OA2 |
∵OM=OC，OE=OA，
∴ME=AC=2
| x |
根据勾股定理，得4x+1=x2，
解，得x=2±
| 5 |
又x＞1，
∴x=2+
| 5 |
点评：此题综合考查了两圆的位置关系与数量之间的联系、直线和圆的位置关系与数量之间的联系、勾股定理、等腰三角形的性质等．
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