Question

30、小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x²=-1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i²=-1，那么方程x²=-1可以变成x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶•i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

i

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

，i⁴ⁿ⁺⁴=

1

（n为自然数）．

Answer 1

分析：根据所给例子找出规律，再把所求式子与已知相联系即可得出答案．

解答：解：∵i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，
从n=1开始，4个一次循环．
∴i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i（n为自然数），
故答案为：i，-1，-i．

点评：本题是信息给予题，主要考查了幂的乘方的性质，读懂题目信息并正确利用性质是解答本题的关键．