题目内容
(2002•内江)如图,以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D,交AC于E,EF⊥BC,垂足为F,BF:FC=5:1,AB=8cm,AE=2cm.则AD的长是 cm.
【答案】分析:由割线定理知:AD•AB=AE•AC,因此求AD的长,缺少的是AC或EC的长;可通过构建直角三角形求解.连接BE,在Rt△ABE中,BE的长可由勾股定理求得;在Rt△BEC中,EF⊥BC,根据射影定理可得BE2=BF•FC,由此可求出FC、BC的长,进而可求出EC的长;即可得AD的长.
解答:解:连接BE,则∠BEC=90°;
在Rt△AEB中,AB=8cm,AE=2cm;由勾股定理得,BE2=60.
在Rt△BEC中,EF⊥BC,根据射影定理,可得:
BE2=BF•BC=5FC•6FC=30FC2;
∵BE2=60,∴FC=cm,BC=6cm;
同理,可得:EC2=FC•BC=12,即EC=2cm.
由割线定理,得:AD•AB=AE•AC,即:
AD×8=2×(2+2),解得AD=cm.
点评:本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用.
解答:解:连接BE,则∠BEC=90°;
在Rt△AEB中,AB=8cm,AE=2cm;由勾股定理得,BE2=60.
在Rt△BEC中,EF⊥BC,根据射影定理,可得:
BE2=BF•BC=5FC•6FC=30FC2;
∵BE2=60,∴FC=cm,BC=6cm;
同理,可得:EC2=FC•BC=12,即EC=2cm.
由割线定理,得:AD•AB=AE•AC,即:
AD×8=2×(2+2),解得AD=cm.
点评:本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用.
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