题目内容

(2012•吉林)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形和梯形重合部分的面积为Scm2
(1)当t=
1
1
s时,点P与点Q重合;
(2)当t=
4
5
4
5
s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.
分析:(1)当点P与点Q重合时,此时AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,由此列一元一次方程求出t的值;
(2)当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t.由相似三角形比例线段关系可得PQ=
1
2
t,从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=2,列一元一次方程求出t的值;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,运动过程可以划分为两个阶段:
①当1<t≤
4
3
时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ.先计算梯形各边长,然后利用梯形面积公式求出S;
②当
4
3
<t<2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形.面积S由关系式“S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN”求出.
解答:解:(1)当点P与点Q重合时,AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,
∴t+t=2,解得t=1s,
故填空答案:1.

(2)当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t.
∵QF∥BC,APDE为正方形,∴△PQD∽△ABC,
∴DP:PQ=AC:AB=2,则PQ=
1
2
DP=
1
2
AP=
1
2
t.
由AP+PQ+BQ=AB=2,得t+
1
2
t+t=2,解得:t=
4
5

故填空答案:
4
5


(3)当P、Q重合时,由(1)知,此时t=1;
当D点在BC上时,如答图2所示,此时AP=BQ=t,BP=
1
2
t,求得t=
4
3
s,进一步分析可知此时点E与点F重合;
当点P到达B点时,此时t=2.
因此当P点在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,其运动过程可分析如下:
①当1<t≤
4
3
时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ.
此时AP=BQ=t,∴AQ=2-t,PQ=AP-AQ=2t-2;
易知△ABC∽△AQF,可得AF=2AQ,EF=2EG.
∴EF=AF-AE=2(2-t)-t=4-3t,EG=
1
2
EF=2-
3
2
t,
∴DG=DE-EG=t-(2-
3
2
t)=
5
2
t-2.
S=S梯形PDGQ=
1
2
(PQ+DG)•PD,
=
1
2
[(2t-2)+(
5
2
t-2)]•t,
=
9
4
t2-2t;
②当
4
3
<t<2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形.
此时AP=BQ=t,∴AQ=PB=2-t,
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM,可得AF=2AQ,PM=2PB,DM=2DN,
∴AF=4-2t,PM=4-2t.
又∵DM=DP-PM=t-(4-2t)=3t-4,
∴DN=
1
2
(3t-4)=
3
2
t-2,DM=3t-4.
S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN=AP2-
1
2
AQ•AF-
1
2
DN•DM
=t2-
1
2
(2-t)(4-2t)-
1
2
×
1
2
(3t-4)×(3t-4)
=-
9
4
t2+10t-8.
综上所述,当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,S与t之间的函数关系式为:
S=
9
4
t2-2t(1<t≤
4
3
)
-
9
4
t2+10t-8(
4
3
<t<2)
点评:本题是运动型综合题,涉及到动点与动线问题.第(1)(2)问均涉及动点问题,列方程即可求出t的值;第(3)问涉及动线问题,是本题难点所在,首先要正确分析动线运动过程,然后再正确计算其对应的面积S.本题难度较大,需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力.
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