Question

如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上．若AB=m+

n

，其中m、n是整数，则m+n的值为

 

．

Answer 1

分析：连接OA，根据两圆内切可得出P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，根据图示数量关系得到RO=RQ-OQ=x-10，利用垂径定理和勾股定理求出x的值，进而求出m、n的值．

解答：解：连接OA，
∵两圆内切，
∴P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，
则OQ=OP-PQ=10，RO=RQ-OQ=x-10，
∵CD与小圆切于点Q，
∴QR⊥CD，QR⊥AB，
∴根据垂径定理知AR=

1

2

AB=

1

2

x，
∴在Rt△OAR中，
根据勾股定理得：OA²=OR²+AR²，即(10-x)2+(

x

2

)2=202，
解得：x=8±

304

，
而AB=m+

n

，m、n为整数，
∴m=8，n=304，
∴m+n=312．
故答案为：312．

点评：此题不仅考查了相切两圆的性质，还涉及勾股定理和垂径定理，从图中得到RO=RQ-OQ是解题的关键，要善于观察图形的特点．