Question

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．

（1）当点C₁在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA₁，CC₁，若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

（1）90°；（2）；（3）最大值为7，最小值为

试题分析：（1）由旋转的性质可得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，即得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，从而得到结果；
（2）由旋转的性质可得△ABC≌△A₁BC₁，即得BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，从而可得，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，即可证得△ABA₁∽△CBC₁，再根据相似三角形的性质求解即可；
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，由△ABC为锐角三角形可得点D在线段AC上，在Rt△BCD中，根据 45°角的正弦函数即可求得BD的长，①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大。
（1）∵由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁.
∴△ABA₁∽△CBC₁ 
∴.
∵S_△ABA1=4，
∴S_△CBC1=；
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形
∴点D在线段AC上。
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小。最小值为：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=.

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大。最大值为：EP₁=BC+BE=5+2=7.

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．