Question

已知：如图，抛物线y=ax²+ax+c与y轴交于点C（0，2），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标．
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线中进行求解即可．
（2）先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可求出OB的长，然后设M的坐标为（m，0），可用m表示OM和NC的长，然后根据三角形的面积公式即可得出关于△CMN的面积与m之间的函数关系式，根据函数的性质和m的取值范围即可求出△CNM的最大值及对应的M、N的坐标．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①OF=DF，此时F必在OD的垂直平分线上，即F的横坐标为-

1

2

，可根据直线AC的解析式求出F点的坐标，然后将F的纵坐标代入抛物线中即可求出P点的坐标．
②OD=DF，DF=1，易知：OA=OC=2，因此AD=OD=DF=1，三角形AFO为等腰直角三角形，因此可得出F（-1，1），后同①．
③当OD=DF=1时，②中已经得出△OAC为等腰直角三角形，因此O到AC的距离为

2

＞1，因此这种情况不成立．

解答：解：（1）由题意，得

0=4a-2a+c 2=c

解得

a=-1 c=2

∴所求抛物线的解析式为：y=-x²-x+2

（2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m．
S_△MNC=

1

2

NC•OM=

1

2

（2-2m）•m=-m²+m=-（m-

1

2

）²+

1

4

由-x²-x+2=0
得x₁=-2，x₂=1．
∴点B的坐标为（1，0）．
则0＜m＜1，
∴当m=

1

2

时，S_△MNC有最大值

1

4

此时，点M的坐标为（

1

2

，0），点N的坐标为（0，1）．

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1．
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45度．
∴∠DFA=∠OAC=45度．
∴∠ADF=90度．此时，点F的坐标为（-1，1）．
由-x²-x+2=1，x；₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

此时，
点P的坐标为：（

-1+ 5

2

，1）或（

-1- 5

2

，1）
②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=

3

2

．
∴F（-

1

2

，

3

2

）
由-x²-x+2=

3

2

，
得x₁=

-1+ 3

2

，x₂=

-1- 3

2

此时，
点P的坐标为：（

-1+ 3

2

，

3

2

）或（

-1- 3

2

，

3

2

）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2

2

．
∴点O到AC的距离为

2

，而OF=OD=1＜

2

，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：（

-1+ 5

2

，1）或（

-1- 5

2

，1）或（

-1+ 3

2

，

3

2

）或（

-1- 3

2

，

3

2

）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．