题目内容
（2008•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
【答案】分析：（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．
（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF?∠ABD=∠BDF，又BF=DF?∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．
解答：
证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．
（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC．
∴∠BDA=∠BDC．
又∵BD是公共边，
∴△BAD≌△BED（ASA）．
∴AD=DE．
点评：这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．
（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF?∠ABD=∠BDF，又BF=DF?∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．
解答：
证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．
（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC．
∴∠BDA=∠BDC．
又∵BD是公共边，
∴△BAD≌△BED（ASA）．
∴AD=DE．
点评：这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．
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