题目内容
(2011•宁夏)在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上(M不与A、B重合,N不与A、C重合),且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.
(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上?
(2)当MN=x,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
解:(1)连接AP,交MN于O,
∵将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P,
∴OA=OP,AP⊥MN,AN=PN,AM=PM,
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,AO⊥MN,
∴,
∵BC=6,
∴MN=3,
∴当MN=3时,点P恰好落在BC上;
(2)过点A作AD⊥BC于D,交MN于O,
∵MN∥BC,
∴AO⊥MN,
∴△AMN∽△ABC,
∴,
∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,BD=BC=3,
∴AD=4,
∴,
∴AO=x,[来源:Z。xx。k.Com]
∴S△AMN=MN•AO=•x•x=x2,
当AO≤AD时,
根据题意得:S△PMN=S△AMN,
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN,
∴y=x2,
∴当AO=AD时,即MN=BC=3时,y最小,最小值为3;
当AO>AD时,
连接AP交MN于O,
则AO⊥MN,
∵MN∥BC,
∴AP⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN,
∴,,
即:,,
∴AO=x,
∴,
∴EF=2x﹣6,OD=AD﹣AO=4﹣x,
∴y=S梯形MNFE=(EF+MN)•OD=×(2x﹣6+x)×(4﹣x)=﹣(x﹣4)2+4,
∴当x=4时,y有最大值,最大值为4,
综上所述:当x=4时,y的值最大,最大值是4.
解析
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