题目内容

【题目】如图,PB为O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交O于点A,连接PA,AO,并延长AO交O于点E,与PB的延长线交于点D.

(1) 求证:PA是O的切线;

(2) ,且OC=4,求PA的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)3.

【解析】

试题分析: (1)连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP是线段AB的垂直平分线,进而可得:PA=PB,然后证明PAO≌△PBO,进而可得PBO=PAO,然后根据切线的性质可得PBO=90°,进而可得:PAO=90°,进而可证:PA是O的切线;

(2)连接BE,由,且OC=4,可求AC,OA的值,然后根据射影定理可求PC的值,从而可求OP的值,然后根据勾股定理可求AP的值.

试题解析:(1)连接OB,则OA=OB,

OPAB,

AC=BC,

OP是AB的垂直平分线,

PA=PB,

PAO和PBO中,

∴△PAO≌△PBO(SSS)

∴∠PBO=PAO,PB=PA,

PB为O的切线,B为切点,

∴∠PBO=90°

∴∠PAO=90°

即PAOA,

PA是O的切线;

(2)连接BE,

,且OC=4,

AC=6,

AB=12,

在RtACO中,

由勾股定理得:AO=

AE=2OA=4,OB=OA=2

在RtAPO中,

ACOP,

AC2=OCPC,

解得:PC=9,

OP=PC+OC=13,

在RtAPO中,由勾股定理得:AP==3.

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