题目内容
【题目】如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA,AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1) 求证:PA是⊙O的切线;
(2) 若,且OC=4,求PA的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.
【解析】
试题分析: (1)连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP是线段AB的垂直平分线,进而可得:PA=PB,然后证明△PAO≌△PBO,进而可得∠PBO=∠PAO,然后根据切线的性质可得∠PBO=90°,进而可得:∠PAO=90°,进而可证:PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,由,且OC=4,可求AC,OA的值,然后根据射影定理可求PC的值,从而可求OP的值,然后根据勾股定理可求AP的值.
试题解析:(1)连接OB,则OA=OB,
∵OP⊥AB,
∴AC=BC,
∴OP是AB的垂直平分线,
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中,
∵,
∴△PAO≌△PBO(SSS)
∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,
∵PB为⊙O的切线,B为切点,
∴∠PBO=90°,
∴∠PAO=90°,
即PA⊥OA,
∴PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,
∵,且OC=4,
∴AC=6,
∴AB=12,
在Rt△ACO中,
由勾股定理得:AO=,
∴AE=2OA=4,OB=OA=2,
在Rt△APO中,
∵AC⊥OP,
∴AC2=OCPC,
解得:PC=9,
∴OP=PC+OC=13,
在Rt△APO中,由勾股定理得:AP==3.
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