题目内容
甲乙都是两位数,将甲的十位数与个位数对调得丙(甲≠丙),将乙的十位数与个位数对调得丁,丙丁的乘积等于甲乙的乘积,而甲乙两数的数字全为偶数,并且数字不能完全相同(如24和42),则甲乙两数之和最大值是多少?
∵将甲的十位数与个位数对调得丙(甲≠丙),将乙的十位数与个位数对调得丁,
设甲乙两数分别为:10a+b(且a≠b)和10x+y,
∴丙丁两数分别为:10b+a和10y+x,
∵丙丁的乘积等于甲乙的乘积,
∴(10a+b)(10x+y)=(10b+a)(10y+x),
即:100ax+10ay+10bx+by=100by+10bx+10ay+ax,
∴99ax=99by,
即ax=by,
∵a≠b,
∴x≠y,
∵甲乙两数的数字全为偶数,并且数字不能完全相同(如24和42),
∴a≠y,b≠x,
①设a,b,x,y中有一对相等,
∵2,4,6,8中,只有42=2×8,
∴ax=by=4×4=2×8,
当ax=4×4时,即a=m=4,
则两个数分别为42,48,
此时这两数和为90,
当ax=2×8时,
则这两个数为24和84,
此时这两数和为108;
②∵甲乙两数的数字全为偶数,并且数字不能完全相同,
∴a,b,x,y中不存在两对相等的情况;
③假设a、b、m、n这四个数字都不相等,
则a、b、m、n只能为2,4,6,8(数字没有顺序),
∵无论a、b、m、n取2,4,6,8中的哪个数字(不能重合),则ax≠by,
∵这和与知ax=by相矛盾,
∴假设不成立;
综上:甲乙两数之和最大值是108.
设甲乙两数分别为:10a+b(且a≠b)和10x+y,
∴丙丁两数分别为:10b+a和10y+x,
∵丙丁的乘积等于甲乙的乘积,
∴(10a+b)(10x+y)=(10b+a)(10y+x),
即:100ax+10ay+10bx+by=100by+10bx+10ay+ax,
∴99ax=99by,
即ax=by,
∵a≠b,
∴x≠y,
∵甲乙两数的数字全为偶数,并且数字不能完全相同(如24和42),
∴a≠y,b≠x,
①设a,b,x,y中有一对相等,
∵2,4,6,8中,只有42=2×8,
∴ax=by=4×4=2×8,
当ax=4×4时,即a=m=4,
则两个数分别为42,48,
此时这两数和为90,
当ax=2×8时,
则这两个数为24和84,
此时这两数和为108;
②∵甲乙两数的数字全为偶数,并且数字不能完全相同,
∴a,b,x,y中不存在两对相等的情况;
③假设a、b、m、n这四个数字都不相等,
则a、b、m、n只能为2,4,6,8(数字没有顺序),
∵无论a、b、m、n取2,4,6,8中的哪个数字(不能重合),则ax≠by,
∵这和与知ax=by相矛盾,
∴假设不成立;
综上:甲乙两数之和最大值是108.
练习册系列答案
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初二年级期末考试后,统计甲、乙两班的数学成绩(单位:分)的情况如下表,则下列判断正确的是( )
A、甲班学生成绩的及格率高于乙班 学生成绩的及格率(及格分≥60分)
B、甲班学生的平均成绩低于乙班学生的平均成绩
C、甲班学生的平均成绩的波动比乙班学生成绩的波动大
D、将两班学生的成绩分别按从高到低的顺序排列,则处在中间位置的成绩都是68
班级 | 考试人数 | 平均分 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 57 | 72 | 60 | 68 | 210 |
乙 | 57 | 70 | 65 | 68 | 102 |