题目内容

如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜ $数学公式$ ）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则新坐标（x₂-x₁，y₂-y₁）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10-3t．
∵PQ∥BO，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ 秒时，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得PD=6- $\text{[math]}$ t．
S= $\text{[math]}$ AQ•PD= $\text{[math]}$ •2t•（6- $\text{[math]}$ t）=6t- $\text{[math]}$ t²=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+5，
∴S与t之间的函数关系式为：S=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+5（0＜t＜ $\text{[math]}$ ），
当t= $\text{[math]}$ 秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t= $\text{[math]}$ ，
∴PD=6- $\text{[math]}$ t=3，
∴PD= $\text{[math]}$ BO，
又∵PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD= $\text{[math]}$ OA=4，
∴P（4，3）．
又∵AQ=2t= $\text{[math]}$ ，
∴OQ=OA-AQ= $\text{[math]}$ ，∴Q（ $\text{[math]}$ ，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（ $\text{[math]}$ -4，0-3），即（ $\text{[math]}$ ，-3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-3）．
分析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式 $\text{[math]}$ ，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系 $\text{[math]}$ 求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x₂-x₁，y₂-y₁），即可求解．
点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．