题目内容
已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(1),设C,D分别是轴、轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值;
(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围;
②在①的条件下,记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式,并求S的最大值。
解:(1)∵抛物线的顶点为A(1,5),
∴设抛物线的解析式为,
将点B(5,1)代入,得,
解得,
∴
(2)作A关于y轴的对称点,作B关于x轴的对称点,显然,
如图(5.1),连结分别交x轴、y轴于C、D两点,
∵,
∴此时四边形ABCD的周长最小,最小值就是。
而,
∴
四边形ABCD周长的的最小值为。
(3)①点B关于x轴的对称点B′(),点A关于y轴的对称点A′(﹣1,5),连接A′B′,与x轴,y轴交于C,D点,
∴CD的解析式为:,
联立,
得:
∵点P在上,点Q是OP的中点,
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点,则.
故的取值范围是:.
②如图:
点E(2,2),当EP=EQ时,,得:,
当时,
当时,.
当时,
当时,.
故的最大值为:.
解析:略
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