Question

以关于m的方程m²+（k-4）m+k=0的最大整数根为直径作⊙O．P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点．这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数，求PA、PB、PC的长．

Answer 1

分析：运用根与系数的关系以及切割定理得出根的取值范围，进而确定z的取值，从而解决．

解答：解：设方程两根为m₁、m₂则

m1+m2=4-k，① m1m2=k．②

又设PA=x，PB=y，BC=z，则x﹑y﹑z都是正整数．
由切割线定知
PA²=PB•PC=PB（PB+BC），
即x²=y²+yz?（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的k，得
m₁m₂=4-m₁-m₂．
整理分解，得
（m₁+1）（m₂+1）=5．
因为⊙O的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m=4．进而，z=BC≤4．
又正整数z不是合数，故z=3，2，1．
当z=3时，（x+y）（x-y）=3y，有

x+y=3 x-y=y

x+y=y x-y=3

x+y=3y x-y=1.

可得适合题意的解为x=2，y=1．
当z=1和z=2时，没有适合题意的解，
所以，PA=x=2，PB=y=1，PC=y+z=4．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及切割线定理，综合性较强．