题目内容

(2013•盐城)如图,在以点O为原点的平面直角坐标系中,一次函数y=-
1
2
x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上,且OC=
1
2
AB,反比例函数y=
k
x
的图象经过点C,则所有可能的k值为
1
2
或-
11
50
1
2
或-
11
50
分析:首先求出点A、B的坐标,然后由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”确定点C是线段AB的中点,据此可以求得点C的坐标,把点C的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值.
另外,以点O为圆心,OC长为半径作圆,与直线AB有另外一个交点C′,点C′也符合要求,不要遗漏.
解答:解:在y=-
1
2
x+1中,令y=0,则x=2;令x=0,得y=1,
∴A(2,0),B(0,1).
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=
5

设∠BAO=θ,则sinθ=
5
5
,cosθ=
2
5
5

当点C为线段AB中点时,有OC=
1
2
AB,
∵A(2,0),B(0,1),
∴C(1,
1
2
).
以点O为圆心,OC长为半径作圆,与直线AB的另外一个交点是C′,则点C、点C′均符合条件.
如图,过点O作OE⊥AB于点E,则AE=OA•cosθ=2×
2
5
5
=
4
5
5

∴EC=AE-AC=
4
5
5
-
5
2
=
3
5
10

∵OC=OC′,∴EC′=EC=
3
5
10
,∴AC′=AE+EC′=
4
5
5
+
3
5
10
=
11
5
10

过点C′作CF⊥x轴于点F,则C′F=AC′•sinθ=
11
5
10
×
5
5
=
11
10

AF=AC′•cosθ=
11
5
10
×
2
5
5
=
11
5

∴OF=AF-OA=
11
5
-2=
1
5

∴C′(-
1
5
11
10
).
∵反比例函数y=
k
x
的图象经过点C或C′,1×
1
2
=
1
2
,-
1
5
×
11
10
=-
11
50

∴k=
1
2
或-
11
50

故答案为:
1
2
或-
11
50
点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意符合条件的点C有两个,需要分别计算,不要遗漏.
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