Question

学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a²+b²=c²，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=______mm；b=______mm；较长的一条边长c=______mm．比较=a²+b²______c²（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=______mm；b=______mm；较长的一条边长c=______mm．比较a²+b²______c²（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：______，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．

Answer 1

解：（1）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=9mm．比较=a²+b²＞c²；

（2）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=11mm．比较a²+b²＜c²；

（3）若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²＜c²．
当△ABC是锐角三角形时，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，

则有BD=a-x．
根据勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
∴a²+b²=c²+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a²+b²＞c²．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D．

设BD为x，则有CD²=a²-x²，
根据勾股定理，得（c+x）²+a²-x²=b²，即a²+c²+2cx=b²．
∵c＞0，x＞0，
∴2cx＞0，
∴a²+c²＜b²．
分析：熟悉勾股数，然后根据大边对大角，小边对小角，确定第三边的长，从而保证三角形的形状．如取较小的两边是6，8，若是直角三角形，则第三边应是10．故要保证它是锐角三角形，只需取9．要保证它是钝角三角形，只需取11．
证明的时候，充分运用勾股定理结合完全平方公式即可分析证明．
点评：本题考查了勾股定理的证明，在给定三角形的三边的时候，还要注意三角形的三边关系．注意勾股定理的熟练运用以及完全平方公式的灵活变形．