题目内容
学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=______mm；b=______mm；较长的一条边长c=______mm．比较=a2+b2______c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=______mm；b=______mm；较长的一条边长c=______mm．比较a2+b2______c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：______，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
解：（1）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=9mm．比较=a2+b2＞c2；
（2）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=11mm．比较a2+b2＜c2；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．
当△ABC是锐角三角形时，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，
则有BD=a-x．
根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2，
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2．
∴a2+b2=c2+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D．
设BD为x，则有CD2=a2-x2，
根据勾股定理，得（c+x）2+a2-x2=b2，即a2+c2+2cx=b2．
∵c＞0，x＞0，
∴2cx＞0，
∴a2+c2＜b2．
分析：熟悉勾股数，然后根据大边对大角，小边对小角，确定第三边的长，从而保证三角形的形状．如取较小的两边是6，8，若是直角三角形，则第三边应是10．故要保证它是锐角三角形，只需取9．要保证它是钝角三角形，只需取11．
证明的时候，充分运用勾股定理结合完全平方公式即可分析证明．
点评：本题考查了勾股定理的证明，在给定三角形的三边的时候，还要注意三角形的三边关系．注意勾股定理的熟练运用以及完全平方公式的灵活变形．
（2）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=11mm．比较a2+b2＜c2；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．
当△ABC是锐角三角形时，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，
则有BD=a-x．
根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2，
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2．
∴a2+b2=c2+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D．
设BD为x，则有CD2=a2-x2，
根据勾股定理，得（c+x）2+a2-x2=b2，即a2+c2+2cx=b2．
∵c＞0，x＞0，
∴2cx＞0，
∴a2+c2＜b2．
分析：熟悉勾股数，然后根据大边对大角，小边对小角，确定第三边的长，从而保证三角形的形状．如取较小的两边是6，8，若是直角三角形，则第三边应是10．故要保证它是锐角三角形，只需取9．要保证它是钝角三角形，只需取11．
证明的时候，充分运用勾股定理结合完全平方公式即可分析证明．
点评：本题考查了勾股定理的证明，在给定三角形的三边的时候，还要注意三角形的三边关系．注意勾股定理的熟练运用以及完全平方公式的灵活变形．
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