Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．

（1）求证：AB=CD；

（2）求证：CD2=BEBC；

（3）当CG=，BE=时，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形，可得结论；

（2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；

（3）根据F是AC的三等分点得：AG=2BG，设BG=x，则AG=2x，代入（2）的结论解出x的值，可得CD的长．

试题解析：证明：（1）∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD；

（2）∵AE为⊙O的切线，∴AE⊥AC，∴∠EAB+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠ACB=90°，∴∠EAB=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2=BEBC，由（1）知：AB=CD，∴CD2=BEBC；

（3）∵F是AC的三等分点，∴AF=2FC，∵FG∥BE，∴△AFG∽△ACB，∴ =2，设BG=x，则AG=2x，∴AB=3x，在Rt△BCG中，CG=，∴BC2=（）2﹣x2，BC=，由（2）得：AB2=BEBC，（3x）2=，4x4+x2﹣3=0，（x2+1）（4x2﹣3）=0，x=±，∵x＞0，∴x=，∴CD=AB=3x=．