题目内容
（2005•泉州质检）如图，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的边长为2cm，其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点E与点B重合．（1）请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC重叠部分面积的大小；
（2）设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）．
①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；
②在该正方形整个运动过程中，求当x为何值时，y=
．
【答案】分析：（1）运动6秒时，AB正好与正方形的对角线重合（F与B重合），那么重叠的面积正好是正方形面积的一半．
（2）①当x=6时，B与F重合，当x=8时，E与B重合，因此这期间，重叠的部分是个三角形，可用x表示出两直角边，然后得出x、y的函数关系式．
②可根据x的不同取值范围和（1）（2）①中得出的结论进行判断．
解答：解：（1）如图1，重叠部分的面积为
×22=2cm2
（2）①当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8，如图2，
当6＜x＜8时，设正方形DEFG与AB交于点M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重叠部分面积：y=S△MEB=
•EB2=
（8-x）2
②在正方形运动过程中，分四种情况：当0＜x＜2时，如图3，
重叠部分面积y=2x，且0＜y＜4
令y=
，得2x=
，解得x=
当2≤x≤4时，如图4，
重叠部分面积都为4cm2，此时y≠
当4＜x≤6时，如图5，
易见重叠部分面积y随x的增大而减小
由上面得出的结论知当x=4时，y=4；由（1）知当x=6时，y=2
∴2≤y＜4，此时y≠
当6＜x＜8时，由（2）①已求得y=
（8-x）2=
（x-8）2，
∵y随x的增大而减小，又当x=6时，y=2，当x=8时，y=0时，
∴0＜y＜2
令y=
（x-8）2=
，解得x1=7，x2=9（不合题意，舍去）
∴x=7
综上，当x=
或x=7时，y=
．
点评：本题考查了正方形的性质以及二次函数的综合应用，本题中高清不同的时段正方形与三角形的不同位置关系式解题的关键．
（2）①当x=6时，B与F重合，当x=8时，E与B重合，因此这期间，重叠的部分是个三角形，可用x表示出两直角边，然后得出x、y的函数关系式．
②可根据x的不同取值范围和（1）（2）①中得出的结论进行判断．
解答：解：（1）如图1，重叠部分的面积为
×22=2cm2（2）①当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8，如图2，
当6＜x＜8时，设正方形DEFG与AB交于点M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重叠部分面积：y=S△MEB=
•EB2=（8-x）2②在正方形运动过程中，分四种情况：当0＜x＜2时，如图3，
重叠部分面积y=2x，且0＜y＜4
令y=
，得2x=，解得x=当2≤x≤4时，如图4，
重叠部分面积都为4cm2，此时y≠
当4＜x≤6时，如图5，
易见重叠部分面积y随x的增大而减小
由上面得出的结论知当x=4时，y=4；由（1）知当x=6时，y=2
∴2≤y＜4，此时y≠
当6＜x＜8时，由（2）①已求得y=
（8-x）2=（x-8）2，∵y随x的增大而减小，又当x=6时，y=2，当x=8时，y=0时，
∴0＜y＜2
令y=
（x-8）2=，解得x1=7，x2=9（不合题意，舍去）∴x=7
综上，当x=
或x=7时，y=．点评：本题考查了正方形的性质以及二次函数的综合应用，本题中高清不同的时段正方形与三角形的不同位置关系式解题的关键．
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