Question

已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．

Answer 1

分析：先根据⊙O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，得出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC．

解答：解：∵⊙O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180°-45°-105°=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×20=10cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

202- 102

=10

3

cm．
答：BC、AC的长分别是10cm、10

3

cm．

点评：此题考查了三角形的内切圆与内心，关键是根据三角形的内心的性质和内角和定理求出角的度数，并与勾股定理相结合，难度不大．