题目内容

(2011•金东区模拟)已知抛物线y=-
2
3
(x+1)(x-3)
与x轴相交于点A,B(A点在B点左边),点C为抛物线上一个动点,直线y=m(0<m<2)与线段AC,BC分别相交于D,E两点,在x轴上的点P,使得△DEP为等腰直角三角形,则点P的坐标为
P1(-
1
2
,0),P2(1,0),P3
1
2
,0)
P1(-
1
2
,0),P2(1,0),P3
1
2
,0)
分析:若△DEP为等腰直角三角形,应分情况进行讨论,需注意应符合两个条件:等腰,有直角.
解答:解:令y=-
2
3
(x+1)(x-3)
=0,解得:x=-1或x=3,
∵A点在B点左边,
∴A点的坐标为(-1,0),B点的坐标为(3,0),
设直线y=m与y轴的交点为F(0,m).
①当DE为腰时,分别过点D,E作DP1⊥x轴于P1,作EP2⊥x轴于P2,如图,
则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形,DE=DP1=FO=EP2=m,AB=x2-x1=4.
∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB,
DE
AB
=
CF
OC
,即
m
4
=
2-m
2

解得m=
4
3

∴点D的纵坐标是
4
3

∵点D在直线AC上,
∴2x+2=
4
3
.,解得x=-
1
3

∴D(-
1
3
4
3
).
∴P1(-
1
3
,0),同理可求P2(1,0).

②当DE为底边时,
过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3,如图,
则DG=EG=GP3=m,
由△CDE∽△CAB,
DE
AB
=
CF
OC
,即
2m
4
=
2-m
2

解得m=1.
同1方法.求得D(-
1
2
,1),E(
3
2
,1),
∴DG=EG=GP3=1
∴OP3=FG=FE-EG=
1
2

∴P3
1
2
,0)
结合图形可知,P3D2=P3E2=2,ED2=4,
∴ED2=P3D2+P3E2
∴△DEP3是Rt△,
∴P3
1
2
,0)也满足条件.
综上所述,满足条件的点P共有3个,即P1(-
1
2
,0),P2(1,0),P3
1
2
,0).
故答案为:P1(-
1
2
,0),P2(1,0),P3
1
2
,0).
点评:本题考查的知识点较为全面:解一元二次方程,相似的应用以及勾股定理,等腰三角形的性质等,需耐心分析,加以应用.
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