Question

如图已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b-

m

x

＜0的解集（请直接写出答案）．
（4）试说明OA=OB．

Answer 1

分析：（1）把A（-4，n），B（2，-4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=

m

x

，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
（3）根据图象可以得出：不等式kx+b-

m

x

＜0的解集为：kx+b＜

m

x

的解集，结合A，B两点横坐标得出；
（4）根据A（-4，2），B（2，-4），得出AO，BO的长即可得出答案．

解答：解：（1）∵B（2，-4）在y=

m

x

上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y=-

8

x

．
∵点A（-4，n）在y=-

8

x

上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴

-4k+b=2 2k+b=-4

．
解得：

k=-1 b=-2

，
∴一次函数的解析式为y=-x-2．

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-2．
∴点C（-2，0）．
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=

1

2

×2×2+

1

2

×2×4=6．

（3）根据图象可以得出：不等式kx+b-

m

x

＜0的解集为：kx+b＜

m

x

的解集，结合A，B两点横坐标得出：
即-4＜x＜0，或x＞2时；不等式kx+b-

m

x

＜0；

（4）∵A（-4，2），B（2，-4），
∴AO=

42+22

=2

5

，BO=

42+22

=2

5

，
∴AO=BO．

点评：本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式以及利用图象得出不等式解集；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题关键．