Question

【题目】如图,△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线 l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，

BQ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）AP，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）根据图形就可以猜想出结论．
（2）要证可以转化为证明≌；要证明，可以证明只要证出即可证出．
（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．

试题解析：（1）
（2）

证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，

又∵AC⊥BC，

∴CQ=CP.

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴△BCQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ=AP.

②如图，延长BQ交AP于点M.

∵△BCQ≌△ACP，

∴∠1=∠2.

∵在Rt△BCQ中, 又∠3=∠4，

∴BQ⊥AP；
(3)成立.

证明：①如图,

又∵AC⊥BC，

∴CQ=CP.

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴△BCQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ=AP.

②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ.

∵△BCQ≌△ACP，

∴∠BQC=∠APC.

∵在Rt△BCQ中,

又∵∠CBQ=∠PBN，

∴QB⊥AP.