题目内容
如图甲,已知在⊙O中,AB=43 |
(1)连接BC,CD,请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形?试说明理由;
(2)若用扇形OBD围成一个圆锥侧面,请出这个圆锥的底面圆的半径;
(3)如图乙,若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”,其余条件不变,以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH,顶点G、H在⊙O的劣弧
BD |
分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明,由AC⊥BD,根据垂径定理可知:BF=FD,故只需证明OF=CF.在Rt△ABF中,已知∠A和AB,可将BF,AF的长求出;在Rt△BOF中,运用勾股定理可将半径OB及OF求出,根据CF=2OB-AF可将CF求出,根据OF=CF,BF=FD,BD⊥OC,可证四边形OBCD为菱形;
(2)已知扇形BOD的圆心角和半径,代入l弧长=
进行求解,再根据底面周长:2πr=l弧长,可求出圆锥底面的半径;
(3)作辅助线,连接OH,S阴影=S扇形OBD-S△BOD-S下矩形,S扇形=
lR,S△BOD=
OB2,代入数据可将扇形AOB和△BOD的面积求出,由M、N是△OBD的中位线,可知MN=
BD,在Rt△OEH中,根据勾股定理可求出OE,又OF=
OB,可得EF=OE-OF,故:S下矩形=MN×EF,从而可将阴影部分的面积求出.
(2)已知扇形BOD的圆心角和半径,代入l弧长=
nπR |
180 |
(3)作辅助线,连接OH,S阴影=S扇形OBD-S△BOD-S下矩形,S扇形=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
解答:解:(1)四边形OBCD是菱形.
如图丙,∵AC⊥BD,AC是直径,
∴AC垂直平分BD.
∴BF=FD,
=
.
∴∠BAD=2∠BAC=60°,
∴∠BOD=120°.
∵BF=
AB=2
,
在Rt△ABF中,
AF=
=
=
=6.
在Rt△BOF中,
∴OB2=BF2+OF2.即(2
)2+(6-OB)2=OB2.
解得:OB=4.
∵OA=OB=4,
∴OF=AF-AO=6-4=2,
∵AC=2OA=8,
∴CF=AC-AF=8-6=2,
∴CF=OF,
∵BF=FD,AC⊥BD,
∴四边形OBCD是菱形;
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr.
∵扇形OBD的弧长=
π•4=
π,
∴2πr=
π,
解得:r=
;
(3)如图丁,连接OH.
∵∠A=22.5°,
∴∠BOC=45°,
∵∠BOD=∠BOC=90°,OB=OD=4,
∴BD=
OB=4
,
∴OF=
BD=2
,
∵M、N是OB、OD的中点,
∴MN=
BD=
×4
=2
,
∵四边形MNGH是矩形,
∴MN=GH=2
,EH=EG=
MN=
,
在Rt△HOE中,OE2=OH2-HE2,即OE2=42-(
)2,
解得:OE=
,
∴EF=OE-OF=
-2
,
∵扇形OBD的面积=
lR=
×
π×4=
π,
∴图中阴影部分的面积=
π-
×4×4-(
-2
)×2
=
π-8-4
+8
=
π-4
.
如图丙,∵AC⊥BD,AC是直径,
∴AC垂直平分BD.
∴BF=FD,
BC |
CD |
∴∠BAD=2∠BAC=60°,
∴∠BOD=120°.
∵BF=
1 |
2 |
3 |
在Rt△ABF中,
AF=
AB2-BF2 |
(4
|
36 |
在Rt△BOF中,
∴OB2=BF2+OF2.即(2
3 |
解得:OB=4.
∵OA=OB=4,
∴OF=AF-AO=6-4=2,
∵AC=2OA=8,
∴CF=AC-AF=8-6=2,
∴CF=OF,
∵BF=FD,AC⊥BD,
∴四边形OBCD是菱形;
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr.
∵扇形OBD的弧长=
120 |
180 |
8 |
3 |
∴2πr=
8 |
3 |
解得:r=
4 |
3 |
(3)如图丁,连接OH.
∵∠A=22.5°,
∴∠BOC=45°,
∵∠BOD=∠BOC=90°,OB=OD=4,
∴BD=
2 |
2 |
∴OF=
1 |
2 |
2 |
∵M、N是OB、OD的中点,
∴MN=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
∵四边形MNGH是矩形,
∴MN=GH=2
2 |
1 |
2 |
2 |
在Rt△HOE中,OE2=OH2-HE2,即OE2=42-(
2 |
解得:OE=
14 |
∴EF=OE-OF=
14 |
2 |
∵扇形OBD的面积=
1 |
2 |
1 |
2 |
8 |
3 |
16 |
3 |
∴图中阴影部分的面积=
16 |
3 |
1 |
2 |
14 |
2 |
2 |
16 |
3 |
7 |
=
16 |
3 |
7 |
点评:本题综合考查菱形的判定定理,垂径定理的应用,弧长的计算,扇形面积的求法等知识点,求不规则的图形的面积,可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.
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