Question

（2013•厦门质检）已知抛物线y=x²-2bx+c（c＞0）与y轴的交点为A，顶点为M（m，n）．
（1）若c=2b-1，点M在x轴上，求c的值．
（2）若直线y=-

1

2

x+t过点A，且与x轴交点为B，直线和抛物线的另一交点为P，且P为线段AB的中点．当n取得最大值时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）将c的值代入抛物线，确定抛物线的顶点坐标，再由点M在x轴上，可得关于b的方程，解出可得出b的值，继而得出c的值；
（2）过P作PD⊥x轴，根据直线解析式确定点B的坐标，联立抛物线与直线解析式求出交点坐标，由P为AB中点，可得

BD

OD

=1，从而得出c的值，用含b的式子表示出抛物线解析式，表示出n的值，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）把c=2b-1代入y=x²-2bx+c得：y=x²-2bx+2b-1，
∴M（m，n）的坐标为M(b，

8b-4-4b2

4

)，
∵M在x轴上，
∴

8b-4-4b2

4

=0，即b²-2b+1=0，
解得：b=1，
∴c=2b-1=1．

（2）过P作PD⊥x轴，
∵A（0，c），
∴y=-

1

2

x+c，
∴B（2c，0），
∴x2-2bx+c=-

1

2

x+c，即x2=2bx-

1

2

x，
解得：x1=0，x2=2b-

1

2

，
∵PD∥AD，
∴

BP

AP

=

BD

OD

，
∵P为AB中点，
∴

BD

OD

=1，
∴OD=c，
∴c=2b-

1

2

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2bx+2b-

1

2

，
∴n=

4ac-b2

4a

=

8b-2-4b2

4

=-(b2-2b)-

1

2

=-(b-1)2+

1

2

，
∵-1＜0，
∴二次函数开口向下，存在最大值，
∴当b=1时，n的最大值为

1

2

，
∴c=

3

2

，
∴y=x2-2x+

3

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了二次函数的顶点坐标公式、配方法求二次函数最值，解答本题关键是熟练运用等量代换的运用，难度较大，同学们注意培养自己解答综合题的能力．