Question

（2012•昆山市二模）如图，已知点A的坐标为（2，4），在点A处有二只蚂蚁（忽略其大小），它们同时出发，一只以每秒1个单位的速度垂直向上爬行，另一只同样以每秒1个单位的速度水平向右爬行，t秒后，它们分别到达B、C处，连接BC．若在x轴上有两点D、E，满足DB=OB，EC=OC，则
（1）当t=1秒时，求BC的长度；
（2）证明：无论t为何值，DE=2AC始终成立；
（3）延长BC交x轴于点F，当t的取值范围是多少时，点F始终在点E的左侧？（请直接写出结果，无需书写解答过程！）

Answer 1

分析：（1）利用当t=1时，AB=AC=1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出即可；
（2）利用延长BA交x轴于点M，过C作CN⊥x轴，垂足为N，得出D点坐标，进而得出DE=OE-OD=（4+2t）-4=2t=2AC即可得出答案；
（3）利用已知得出△BAC∽△BMF，进而得出若点F始终在点E的左侧，则OF＜OE，即6+t＜4+2t即可得出．

解答：解：（1）当t=1时，AB=AC=1，
在Rt△ABC中，
∵BC²=AB²+BC²
BC²=1²+1²
∴BC=

2

，

（2）延长BA交x轴于点M，过C作CN⊥x轴，垂足为N，
∵BO=BD，A（2，4）
∴D（4，0）
在矩形ACNM中，MN=AC=t，
∵EC=OC，CN⊥EO，
∴ON=NE，
∴OE=2ON=2（2+t）=4+2t，
∴DE=OE-OD=（4+2t）-4=2t=2AC，
∴无论t为何值，DE=2AC始终成立；

（3）∵AC∥x轴，
∴△BAC∽△BMF，
∴

AB

MB

=

AC

MF

，
即

t

4+t

=

t

MF

，
解得MF=t+4，
∴OF=OM+MF=2+t+4=6+t，
若点F始终在点E的左侧，则OF＜OE，
即6+t＜4+2t，
解得t＞2．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定，熟练利用相似三角形的判定与性质是解题关键．