题目内容
(1)在2004年6月的日历中(如图1),任意圈出一竖列上相邻的三个数,设中间的一个为a,则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是________.(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列,用一个正方形框出16个数(如图2).
图1 图2
①图中框出的这16个数的和是________;
②在图2中,要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000、2004,是否可能?若不可能,试说明理由;若有可能,请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数.
解析:
(1)a-7,a,a+7
(2)①经观察不难发现,在这个方框里的两个关于中心对称的数之和等于44,如31与13,11与33,17与27都是成中心对称的,于是易得出这16个数之和为44×8=352. ②设框出的16个数中最小的一个数为a,则这16个数组成的正方形方框如下表所示.因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a+24,所以这16个数之和为8×(2a+24)=16a+192.当16a+192=2000时,a=113;当16a+192=2004时,a=113.25.
∵a为自然数,∴a=113.25不合题意,即框出的16个数之和不可能等于2004.由长方形阵列的排法可知,a只可能在1,2,3,4列,即a被7除的余数只可能是1,2,3,4列,即a被7除的余数只可能是1,2,3,4,因为113=16×7+1,所以,这16个数之和等于2000是可能的.这时,方框中最小的数是113,最大的数是113+24=137.
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