题目内容
已知：如图，在⊙O的内接等边三角形ABC中，经过点A的弦与BC和弧 | BC |
（1）写出图中所有的相似三角形：
（2）求证：PA2=BC2+PB•PC．
分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等，证得角相等，即可证得相似三角形；
（2）利用相似三角形的性质求得即可．
（2）利用相似三角形的性质求得即可．
解答：（1）解：△ADB∽△CDP，△ADC∽△BDP，△ABD∽△APB，
△ADC∽△ACP，△BDP∽△ACP，△APB∽△CPD；
（2）证明：∵△ADC∽△BDP
∴
=
∴AD=
∵△ADB∽△CDP
∴
=
∴PD=
∴PA=AD+PD=
+
=
∴
=BC2+BP•CP
∵∠ABD=∠ACB=∠APB=60°
∵∠BAP=∠DAB
∴△ABD∽△APB
∴
=
即PA=
∴PA2=BC2+PB•PC
（1）解：△ADB∽△CDP，△ADC∽△BDP，△ABD∽△APB，△ADC∽△ACP，△BDP∽△ACP，△APB∽△CPD；
（2）证明：∵△ADC∽△BDP
∴
| AD |
| BD |
| AC |
| BP |
∴AD=
| AC•BD |
| BP |
∵△ADB∽△CDP
∴
| AB |
| CP |
| BD |
| PD |
∴PD=
| CP•BD |
| AB |
∴PA=AD+PD=
| AC•BD |
| BP |
| CP•BD |
| AB |
| (BC2+BP•CP)•BD |
| BC•BP |
∴
| PA•BC•BP |
| BD |
∵∠ABD=∠ACB=∠APB=60°
∵∠BAP=∠DAB
∴△ABD∽△APB
∴
| PA |
| AB |
| PB |
| BD |
即PA=
| BC•BP |
| BD |
∴PA2=BC2+PB•PC
点评：此题考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质及比例变形．此题有一定难度，解题要细心．
练习册系列答案
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已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的仰角为60°，求山的高度AB．
处测得山顶
的仰角为
，沿着坡角为
的斜坡前进
米到达
处（即∠
，
米），测得
，求山的高度
．
