题目内容
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3 | 5 |
求:(1)弦AB的长;
(2)△CDE的面积.
分析:(1)首先设⊙O的半径OA=r,那么OD=8-r.由OD⊥AB,得∠ADO=90°.于是由在Rt△AOD中,sin∠A=
=
,可得
=
.继而求得r的长,然后由垂径定理,求得弦AB的长;
(2)易证得△AOD∽△CED,然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方,求得△CDE的面积.
OD |
OA |
3 |
5 |
8-r |
r |
3 |
5 |
(2)易证得△AOD∽△CED,然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方,求得△CDE的面积.
解答:解:(1)设⊙O的半径OA=r,
则OD=CD-OC=8-r.
∵OD⊥AB,
∴∠ADO=90°.
∵在Rt△AOD中,sin∠A=
=
.
∴
=
.
解得:r=5,
∴OA=5,OD=3.
利用勾股定理,得:AD=
=4,
∵OD⊥AB,O为圆心,
∴AB=2AD=8;
(2)∵CE⊥AO,
∴∠AFE=∠CDE=90°.
∴∠A+∠E=90°,∠C+∠E=90°,
∴∠A=∠C,
又∵∠ADO=∠CDE=90°,
∴△AOD∽△CED.
∴
=
=
,
∵S△ACD=
AD•OD=
×4×3=6,
∴S△CDE=4S△ACD=24.
则OD=CD-OC=8-r.
∵OD⊥AB,
∴∠ADO=90°.
∵在Rt△AOD中,sin∠A=
OD |
OA |
3 |
5 |
∴
8-r |
r |
3 |
5 |
解得:r=5,
∴OA=5,OD=3.
利用勾股定理,得:AD=
OA2-OD2 |
∵OD⊥AB,O为圆心,
∴AB=2AD=8;
(2)∵CE⊥AO,
∴∠AFE=∠CDE=90°.
∴∠A+∠E=90°,∠C+∠E=90°,
∴∠A=∠C,
又∵∠ADO=∠CDE=90°,
∴△AOD∽△CED.
∴
S△AOD |
S△CDE |
AD2 |
CD2 |
1 |
4 |
∵S△ACD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△CDE=4S△ACD=24.
点评:此题考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
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