Question

如图，在⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线（a≠0）经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动，同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长．当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣2x   （2）1.8秒

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解析式即可。

（2）连接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，进而求出OD，OF的长，进而利用勾股定理得出DF的长。　

解：（1）将点A（4，0）和点（﹣2，6）的坐标代入中，得方程组，

，解得。

∴抛物线的解析式为，即y=x²﹣2x。

（2）如图所示，连接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，

∵直线m切⊙C于点A，∴AC⊥m。

∵弦AB=AO，∴。∴AC⊥OB。∴m∥OB。

∴∠OAD=∠AOB。

∵OA=4，tan∠AOB=，∴OD=OA•tan∠OAD=4×=3。

则OF=OA•sin∠OAD=4×=2.4。

t秒时，OP=t，DQ=2t，

若PQ⊥AD，则 FQ=OP=t．DF=DQ﹣FQ=t，

∴△ODF中，（秒）。