Question

如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点F，连结OC交⊙O于点D，连结BD并延长交AC于点E，连结DF．
（1）求证：∠CFD=∠AEB；
（2）已知AB=4，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接AD．由圆周角定理和圆内接四边形的性质推知∠ADB=90°，∠CFD=∠BAD．然后根据同角的余角相等证得∠DAB=∠BEA，则易证∠CFD=∠AEB．   
（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG．由△CDE∽△CGA的对应边成比例得到CD：CG=CE：CA，DG：CG=EA：CA，即4：（2+2

5

）=EA：4，易求AE的长度．

解答：（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∵点A、D、F、B四点共圆，
∴∠CFD=∠BAD．
又∵∠DBA+∠DAB=90°，∠DBA+∠BEA=90°，
∴∠DAB=∠BEA，
∴∠CFD=∠AEB．   

（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG．
在Rt△ACO中，OA=2，AC=4，
∴根据勾股定理，得到OC=

OA2+AC2

=2

5

，
∴CG=2+2

5

∵AB、GB分别为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠GAD=90°，
∴DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA
∴CD：CG=CE：CA，DG：CG=EA：CA，即4：（2+2

5

）=EA：4，
∴EA=2

5

-2．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．解题时，注意辅助线的作法．