Question

已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4）.

（1）如图1，连接BO、BC、AB .
①填空：AC的长为      ，AB的长为      ；
②试判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接BP，以BP为一边在△ABP外侧作等边△BPQ，当四边形ABQP为梯形时，求点P的横坐标.

Answer 1

（1）①2，；②等边三角形；（2）或0或.

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质结合点A、B、C的坐标即可求得结果；
②由A（0，2），B（，2）可得，在中，根据∠AOB的正切函数值即可得到，同理，即可得到结果；
（2）分三种情况：①当PQ∥AB时，②当P点与C点重合时，③当BP⊥CP时，根据等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、梯形的性质分析即可.
（1）①AC的长为2，AB的长为；
②△OBC是等边三角形. 理由如下：
∵A（0，2），B（，2）
∴
在中， 
∴，同理
∴△OBC是等边三角形；
（2）分三种情况讨论：
①当PQ∥AB时（如图1）：
点Q在CP上，作于D，则四边形是矩形
∴
∵△BPQ是等边三角形，
∴BD平分PQ，平分
∴
∴
∴点P的横坐标是；

②如图2，当P点与C点重合时，
∵在中，
∴，∵
∴，∴BQ∥AC,又CQ与AB不平行
∴四边形 ABQP是梯形.
∴点P的横坐标是0；
③如图3，当BP⊥CP时，
∵CP∥AB
∴BP⊥AB
∵在中，
∴
∵△BPQ是等边三角形
∴
∴
∴AP∥BQ
∴四边形 ABQP是梯形
∴点P的横坐标为
综上所述，四边形ABQP为梯形时，点P的横坐标是或0或.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．