题目内容
如下图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】分析：（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为
=
、
=
两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．
解答：
解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6-t=2t，解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，
∴S△QAC=
QA•DC=
（6-t）•12=36-6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S△APC=
AP•BC=
•2t•6=6t．
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36（cm2）．
由计算结果发现：
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当
=
时，△QAP∽△ABC，那么有：
=
，解得t=
=1.2（s），
即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC；
②当
=
时，△PAQ∽△ABC，那么有：
=
，解得t=3（s），
即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：此题比较复杂，综合了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题．
（2）根据（1）中．在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为
=、=两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．解答：
解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6-t=2t，解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，
∴S△QAC=
QA•DC=（6-t）•12=36-6t．在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S△APC=
AP•BC=•2t•6=6t．∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36（cm2）．
由计算结果发现：
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当
=时，△QAP∽△ABC，那么有：=，解得t==1.2（s），即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC；
②当
=时，△PAQ∽△ABC，那么有：=，解得t=3（s），即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：此题比较复杂，综合了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题．
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