Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣ x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+2x+6．

∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，

∴点D的坐标为（2，8）．

（2）

解：设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，

∴△F′BO∽△BDE，

∴ ．

∵点B（6，0），点D（2，8），

∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，

∴OF′= OB=3，

∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．

设直线BF的解析式为y=kx±3，

则有0=6k+3或0=6k﹣3，

解得：k=﹣ 或k= ，

∴直线BF的解析式为y=﹣ x+3或y= x﹣3．

联立直线BF与抛物线的解析式得： ①或 ②，

解方程组①得： 或 （舍去），

∴点F的坐标为（﹣1， ）；

解方程组②得： 或 （舍去），

∴点F的坐标为（﹣3，﹣ ）．

综上可知：点F的坐标为（﹣1， ）或（﹣3，﹣ ）

（3）

解：设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，

设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2﹣n，n）．

∵点M在抛物线y=﹣ x2+2x+6的图象上，

∴n=﹣ +2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，

解得：n1= ﹣1，n2=﹣ ﹣1．

∴点Q的坐标为（2，2 ﹣2）或（2，﹣2 ﹣2）．

【解析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2﹣n，n）．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论．本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、正方形的性质及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）求出直线BF的解析式；（3）得出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形，以及对相似三角形的性质的理解，了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．