Question

（1）请从所给三个代数式：a²-1，a²-a，a²-2a+1中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式．
（2）解分式方程：

x

x+1

+

2

x-1

=1；
（3）已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）要构造分式，可令其中一个式子做分母，另外一个做分子即可．然后将分子和分母分别进行因式分解或提取公因式，然后再进行约分、化简就能得出所求的结果；
（2）观察可得最简公分母是：（x-1）（x+1），方程两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解；
（3）先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．

解答：解：（1）∵a²-1，a²-a，a²-2a+1中任选两个构造一个分式，可以选前两个，
∴

a2-1

a2-a

=

(a+1)(a-1)

a(a-1)

=

a+1

a

；

（2）方程两边同乘（x-1）（x+1），
得x（x-1）+2（x+1）=（x-1）（x+1），
x²-x+2x+2=x²-1，
解得x=-3．
经检验：x=-3是原方程的解．
故原方程的解为：x=-3；

（3）∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD=

AB2+AD2

=5cm，
在△BCD中，∵BD²+CD²=25+144=169=BC²，
∴△BCD是直角三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD
=

1

2

AB•AD+

1

2

BD•CD
=

1

2

×3×4+

1

2

×5×12
=36．
故四边形ABCD的面积是36．

点评：本题考查（1）分式的化简，分子、分母能因式分解的先因式分解；
（2）解分式方程的能力，注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根；
（3）勾股定理及逆定理的应用，判断△BCD是直角三角形是关键．