Question

如图，将一次函数的图象上一点A（a，b），沿竖直方向向上移动6个单位，得到点B，再沿水平方向向右移动8个单位，得到点C．以AC为直径作圆E，设垂直于y轴的直线DT与圆E相切于点D．
（1）求证：点C在一次函数的图象上；
（2）求三角形ADC的面积；
（3）当点D在x轴上时，求点A的坐标．

Answer 1

（1）证明：由题意知，点C的坐标为（a+8，b+6），
把x=a+8代入y=x得，
y=（a+8）=a+6，
由于点A（a，b）在直线y=x上，
则b=，所以y=b+6，
故点C在一次函数y=x的图象上．

（2）解：不妨设直线DT与⊙E切于点E下方时，如图所示，
过点D作DH⊥AC于H，连接ED，
∵BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ABC=90°．
∵直线DT是⊙E的切线，
∴DT⊥DE，而DT∥x轴，或与x轴重合．
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEA．
∵∠ABC=∠DHE=90°，
∴△ABC∽△EHD．
∵AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC中，AC==10，
∴DE=AC=5，
∴，
∴DH===4，
∴S_△ADC=×10×4=20（平方单位）．

（3）解：如图，
当点E位于x轴上方时，延长AB交x轴于F，
∵AF∥ED，
∴△OAF∽△OED，
∴，
设OF=x，则AF=x，OD=x+4，
∴=，
解得，x=，
∴y=x=×=2，
∴点A的坐标为（，2），
同理可得，当点E位于x轴下方时（如下图所示），由对称性可求点A的坐标为（-，-8）．
综上所述，点A的坐标为A₁（，2）、A₂（-，-8）．
分析：（1）由题意知：C点是由A上移6个单位，再右移8个单位得出的点，那么根据A的坐标为（a，b），那么C点的坐标就是（a+8，b+6），因此可将C的横坐标代入y=x中，我们发现得出的值，同A的横坐标代入后得出的值是相同的．因此C点在直线y=x上．
（2）求三角形ADC的面积就要求出高和底，题中我们知道了AB、BC的值，在直接三角形ABC中，用勾股定理就能求出AC的长，下面求出AC边上的高即可，过点D作DH⊥AC于H，连接ED．DH就是所求的AC边上的高，ED⊥DT，因为DT∥x轴（或者与x轴重合），而AB⊥x轴，那么AB∥DE，∠BAC=∠DEA，这样我们就能求出直角三角形ABC与直角三角形EDH相似，也就能得出BC、AC、DE、DH的比例关系，已经由了BC，AC，ED的长，那么DH就能求出来了，有了DH，AC那么三角形ACB的面积就可以得出．
（3）连接AF，DE后我们可发现，AF∥ED，那么就容易证得三角形OAF和OED相似，于是便可得出
点评：本题考查了一次函数与几何知识的综合应用，题中根据直角三角形和相似三角形得出线段的长或线段间的比例关系是解题的关键．